به عنوان مثالی دیگر، دو منبع گرمایی، مثلاً دو اتو با درجه حرارتهای متفاوت را در نظر بگیرید. فاصله‌ای که در آن، دیگر اصلاً گرمای اتو را احساس نکنیم، برای این دو اتو متفاوت است، به عبارت دیگر، بینهایت برای این دو اتو تفاوت دارد.
اما مفهوم بینهایت، در ریاضیات کاملاً متفاوت با بینهایت فیزیکی است. علامت بینهایت در ریاضیات، است. در ریاضیات می‌‌گوییم: «بینهایت مقداری است که از هر مقدار دیگر بیشتر است.» به عنوان مثال، بینهایت را در اعداد طبیعی در نظر می‌‌گیریم و می‌‌گوییم: بینهایت از ۱، ۱۰، ۱۰۰، ۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰ و هر عدد دیگر که در نظر بگیرید، بزرگ‌تر است.
این مفهوم، دقیقا همان مفهومی است که در «حد در بینهایت» در نظر گرفته می‌شود. به عنوان مثال، در تابع، وقتی می‌گوییم، یعنی این که x از هر عدد انتخاب شده بزرگ‌تر است.
یکی از مهم‌ترین مباحثی که بینهایت درآن دارای کاربرد است، نظریه مجموعه هاست. به عنوان مثال می‌‌دانیم که تعداد اعضای مجموعه اعداد حقیقی و مجموعه اعداد صحیح و طبیعی و ... بینهایت است. (تعداد اعضای هر مجموعه را عدد اصلی می‌نامند) در ریاضیات پیشرفته ثابت می‌شود که عدد اصلی مجموعه اعداد حقیقی و صحیح با یکدیگر برابر نیست

اثر پروانه‌ای

طبقه بندی : ریاضیات - مقالات
اثر پروانه‌ای نام پدیده‌ای است كه به دلیل حساسیت سیستم‌های آشوب‌ناك به شرایط اولیه ایجاد می‌شود. این پدیده به این اشاره می‌كند كه تغییری كوچك در یك سیستم آشوب‌ناك چون جو سیاره‌ زمین (مثلاً بال‌زدن پروانه) می‌تواند باعث تغییرات شدید (وقوع توفان در كشوری دیگر) در آینده شود.
ایده‌ٔ این‌كه پروانه‌ای می‌تواند باعث تغییری آشوبی شود نخستین بار در ۱۹۵۲ در داستان كوتاهی به نام آوای تندر كار ری بردبری مطرح شد. عبارت «اثر پروانه ای» هم در ۱۹۶۱ در پی مقاله‌ای از ادوارد لورنتس به وجود آمد. وی در صد سی و نهمین اجلاس ای‌ای‌ای‌اس در سال ۱۹۷۲ مقاله‌ای با این عنوان ارائه داد كه «آیا بال‌زدن پروانه‌ای در برزیل می‌تواند باعث ایجاد تندباد در تگزاس شود؟»

لورنتس در پژوهش بر روی مدل ریاضی بسیار ساده‌ای از آب و هوای جو زمین، به معادله‌ی دیفرانسیل غیر قابل حل رسید. وی برای حل این معادله از روش‌های عددی به كمك رایانه بهره جست. او برای این‌كه بتواند این كار را در روزهای متوالی انجام دهد، نتیجه آخرین خروجی یك روز را به عنوان شرایط اولیه روز بعد وارد می‌كرد. لورنتس در نهایت مشاهده كرد كه نتیجه شبیه‌سازی‌های مختلف با شرایط اولیه یكسان با هم كاملاً متفاوت است. بررسی خروجی چاپ شده رایانه نشان داده كه رویال مك‌بی (Royal McBee)، رایانه‌ای كه لورنتس از آن استفاده می كرد، خروجی را تا ۴ رقم اعشار گرد می‌كند. از آنجایی كه محاسبات داخل این رایانه با ۶ رقم اعشار صورت می گرفت، از بین رفتن دو رقم آخر باعث چنین تاثیری شده بود. مقدار تغییرات در عمل گرد‌كردن نزدیك به اثر بال‌زدن یك پروانه است. این واقعیت غیرممكن بودن پیش‌بینی آب و هوا در دراز مدت را نشان می دهد.

مشاهدات لورنتس باعث پررنگ شدن مبحث نظریه آشوب شد. عبارت عامیانه «اثر پروانه ای» در زبان تخصصی نظریه آشوب، «وابستگی حساس به شرایط اولیه» ترجمه می شود.
به غیر از آب و هوا، در سیستمهای پویای دیگر نیز حساسیت به شرایط اولیه به چشم می خورد. یك مثال ساده، توپی است كه در قله كوهی قرار گرفته. این توپ با ضربه بسیار كمی، بسته به اینكه ضربه از چه جهتی زده شده باشد، می تواند به هركدام از دره های اطراف سقوط كند.


تئوری
اغلب سیستم ها در دنیای واقعی طی تكرار یك عملیات مشخص كار می كنند. در مثال آب و هوای لورنتس فرایند گرم شدن سطح زمین از طرف خورشید و سرد شدن جو از طریق تابش به فضای بیرون، فرایندی است كه مدام تكرار می شود. می توان نشان داد كه در چنین سیستمی بازه ای از مقادیر اولیه باعث ایجاد رفتار آشوبناك می شود.
تعریف ریاضی
یك سیستم پویا بانقشه تكامل ft وابستگی حساس به شرایط اولیه دارد، اگر نقاط نزدیك به هم با افزایش t از هم جدا شوند. اگر M فضای حالت نقشه ft باشد، می گوییم ft به شرایط اولیه وابستگی حساس نشان می دهد وقتی كه حداقل یك δ>۰ وجود داشته باشد بطوری كه به ازای هر نقطه x∈M و هر همسایگی از N كه x را در بر داشته باشد، نقطه ای مانند y در همسایگی N موجود بوده و در زمانی مانند τ رابطه d ( f t(x) , f t(y) ) >d برقرار باشد.

در این تعریف نیازی نیست كه همه نقاط موجود در یك همسایگی، از نقطه مبنای x جدا باشند.




ادوارد نورتن لورنز هواشناس و ریاضیدان موسسه تکنولوژی ماساچوست و تئوریسن تئوریهای معروفی "بی نظمی" و "اثر پروانه ای" در سن 90 سالگی در کمبریج ماساچوست در گذشت. وی در 23 می 1917 متولد و در 16 آوریل 2008 دارفانی را وداع گفت.

این دانشمند در تئوری "اثر پروانه ای" گفته است: "ضربه های بالهای پروانه ای در برزیل می توانند در تکزاس توفان به پا کنند."

در این تئوری لورنز توضیح می دهد که تداوم تغییرات بی نهایت کوچکی که در اثر بال زدن پروانه ایجاد می شود نتایج ویرانگری تولید می کند.
این دانشمند جوایز معتبر بین المللی به خصوص "جایزه توکیو برای علوم کاربردی" را دریافت کرد. با وجود این از آنجا که در جوایز نوبل، جایزه ای با عنوان "جایزه نوبل هواشناسی" وجود ندارد، لورنز هرگز نتوانست نام خود را در بین دارندگان این جایزه به ثبت برساند.
لورنز در سال 1979 در کنفرانس سالانه "انجمن آمریکایی پیشرفت علم" حاضر شد و به تشریح تئوری "اثر پروانه ای" (butterfly effect) پرداخت و به این ترتیب تئوری "بی نظمی" رسمیت گرفت.
این دانشمند نخستین بار تئوری بی نظمی را در سال 1961 در موسسه تکنولوژی ماساچوست (ام آی تی) مطرح کرد. سپس در سال 1963 این تئوری را کاربردی و در سال 1979 فرمول آن را ارائه کرد.
این تئوری در خصوص پدیده هایی چون تغییرات آب و هوایی غیرمنتظره و حوادث و فرایندهایی که نمی توانند با استفاده از برهانها و قوانین ریاضی رایج، مثل تئوری احتمالات مدل سازی و پیش بینی شوند، توضیح می دهد.
در سال 1960 لورنز یک مدل اسباب بازی از هواشناسی ایجاد کرد.
رایانه این دانشمند در آن زمان نه سرعت کافی برای پردازش یک شبیه سازی ساخته شده از رفتار اتمسفر داشت و نه از حافظه کافی برای ذخیره این اطلاعات برخوردار بود. باوجود این، لورنز توانست مدلهایی از تئوری بی نظمی را با استفاده از این رایانه و با کمک دیگر هواشناسان "ام آی تی" نشان دهد.
منبع : مرکز ریاضیات ایران
--------------------------------------------------------------------------------

سياه چاله ها در دنيای اعداد

طبقه بندی : ریاضیات - مقالات
در طبيعت هرگاه اشيا به سمت شي بخصوصي كشيده شده و در آن جذب شوند ( نا پديد شوند) به آن شي سياهچاله گويند.

اعداد هم سياهچاله هاي فراواني دارند . كه به اختصار در مورد آن صحبت مي كنيم .
همان طور که مي دانيد سياه چاله ها به مکان هايي در فضا گفته مي شود که همه سياره ها و ستاره هاي اطرافشان را به درون خود مي کشند . شايد باورتان نشود حتي نور را هم به سمت خود جذب ميکنند ! راستي ! در فضاي بي کران رياضيات هم ،سياه چاله داريم ...


هرگاه هر عدد طبق رابطه خاصي بصورت سري ادامه پيدا كند و در انتها براي هر عدد به ارقام مشترك برسيم به ارقام مشترك سياهچاله گويند.
قبل از آشنايي با مفهوم سياه چاله ها بياييد بازي زير را انجام دهيم :

1- عدد دلخواه در نظر بگيريد.
2- تعداد ارقام آن و تعداد ارقام زوج وهمچنين تعداد ارقام فرد آن را کنار هم بنويسيد . ( مثلاً اگر عدد 1479386 را در نظر بگيريم عدد 734 به دست مي آيد . )
3- اکنون براي عدد به دست آمده ، دوباره تعداد ارقام و تعداد ارقام زوج و تعداد ارقام فرد را به ترتيب کنار هم بنويسيد ( مثلاً براي عدد 734 در بالا ، عدد 312 به دست مي آيد . )
4- توجه کنيد که اگر عدد،رقم زوج يا رقم فرد نداشت بجاي آن صفر بگذاريد وعدد صفررابعنوان عدد زوج به حساب بياوريد .

چندين بار عمليات بالا را تکرار نمائيد . چه اتفاقي افتاد !؟

اعداد دلخواه ديگري در نظر بگيريد و همين عمليات را چندين بار تکرار کنيد .......
آيا به نتيجه خاصي رسيديد ! ؟
بله دوستان ، درست حدس زديد . بعد از چندين بار تکرار اين عمليات هميشه به عدد 312 مي رسيم .
حالا بياييد براي اعداد يک رقمي هم همين کار را انجام دهيم مثلاً براي اعداد 7 و 13 .
قشنگ بود ، نه !
مثال ::: سياهچاله 1

ارقام 1 - 2 - 4 با رابطه زير يك سياهچاله است .

عددي در نظر گرفته اگر زوج بود آن را بر 2 تقسيم كنيد و گرنه آنرا در 3 ضرب كرده و با 1 جمع مي كنيد سپس اين كار را باز ادامه دهيد و ....

هر عددي كه ابتدا در نظر گرفته باشيد در آخر با اين رابطه به ارقام 1 - 2 - 4 مي رسيم .

مثلا عدد 10

1 ------- 2 -------- 4 -------- 8 -------- 16 -------- 5 -------- 10

قابل توجه دوست داران رياضي اين سياهچاله يكي از معروفترين سئوالات رياضي است كه تقريب 80 سال است که نه كسي آنرا به اثبات رسانيده يا مثال نقضي براي آن پيدا كرده است .

منبع : مرکز ریاضیات
anjoman.ir
ریاضی و نجوم

طبقه بندی : ریاضیات - مقالات
آموزش علوم ریاضی، بویژه حساب و هندسه و نجوم، برای حوزه های علوم دینی، به دلیل مناسبتی که این علوم با برخی از احکام فقهی دارند، بسیار اهمیّت دارد.
در طول سده های گذشته، صدها کتاب ارزشمند در این باره نوشته شده است. از مشهورترین متون درسی حوزه در زمینه علوم ریاضی، می توان به آثار خواجه نصیرالدین طوسی و مفتاح الحساب غیاث الدین جمشید کاشانی و خلاصة الحساب شیخ بهایی اشاره کرد.
خواجه نصیرالدین طوسی، از ریاضی دانان برجسته شیعی است. وی، بیشتر آثار ریاضی دانان یونان را بازنویسی کرد و آنها را در اختیار مراکز علمی گذاشت.
از آن میان می توان به تحریر اقلیدس، الاکرلثاوذسیوس، اکرمانالاوس، ثاوذوتیوس، کتاب المفروضات لارخمیدس، تاوذوتیوس، مانالاوس و المعصیات لاقلیدس اشاره کرد(1).
در میان پسینیان، سید محمد علی شهرستانی (1280 - 1344ه.ق.) از فقهای نامدار شیعه، کتاب کنزالحساب را نوشت و مفتاح الحساب غیاث الدین را شرح کرد(2) و خلاصة الحساب پس از تأسیس مراکز آموزشی جدید کنار گذاشته شد.
در میان دانشهای ریاضی، حوزه ها به علم هیئت و نجوم بیشتر از شاخه های دیگر آن توجه کرده اند. خاندان نوبخت، از پیشگامان این دانش بودند. آل بویه، بویژه عضدالدوله، در ترویج آن بسیار کوشید و رصدخانه ای در بغداد ساخت و سرپرستی آن را به ابوسهل کوهی سپرد. در این زمانها منجمان از کتاب المجسطی اثر بطلمیوس (م:167م) استفاده می کردند. این کتاب بیش از یک هزار سال محور بحثهای ریاضی و نجومی بود. این سینا به تلخیص آن همت گماشت و آن را در ضمن تعالیم شفا گنجاند و ابن رشد، ابن السمح و ابن الصلت آن را تلخیص کردند.(3) و خواجه نصیرالدین طوسی آن را بازنویسی کرد.
مجسطی جزو نهایی ترین متون درسی حوزه بود و تحریر اصول اقلیدس که از کارهای دیگر خواجه بود، از آثار ابتدایی علوم ریاضی به شمار می رفت. خواجه به تهیه مجموعه ای به نام المتوسطات اقدام کرد که در بردارنده آثار دانشمندان یونانی، از جمله: اوتولیکوس، ارسطوخوس، اقلیدس، آپولونیوس، ارشمیدس، هیپسیکلس، تیودوزیس، مینلاتونس وبطلیموس بود.
البته باید توجه داشت که پیش از خواجه ابونصر منصوربن علی بن عراقی (م:427ه.ق.) و شاگرد وی، ابوریحانی بیرونی (362 - 440ه.ق.) کتابهای ارجمندی را در زمینه نجوم نوشته بودند و ظهور خواجه، این متون را از دور خارج کرد.
به طور قطع، در تاریخ حوزه های علمی جهان اسلام، کم کسی است که در حد خواجه طوس به دانشهای خالص و هیئت و نجوم خدمت کرده باشد.
او، افزون بر آثار علمی، رصدخانه مراغه را تأسیس کرد که نخستین مؤسسه مستقل در جهان اسلام است. تذکره خواجه الملخص فی الهیئه محمودبن محمدبن عمر چغمینی، شرح تذکره صغری، هیئت قوشچی و تشریح الافلاک و نیز هفتاد باب شیخ بهائی، کتابهای درسی حوزه در علم نجوم در طول سده های گذشته بوده اند.
از آخرین اساتید علوم ریاضی، می توان به نام علامه رفیعی قزوینی، میرزا محمد تقی مدرس رضوی، میرزا عبدالرحمن مدرس، سید حسن مشکان طبسی، میرزا ابوالحسن شعرانی و حسن زاده آملی اشاره کرد.

پینوشت ها
1. (نصیرالدین الطوسی و آراؤه الفلسفیة والکلامیة)، هانی نعمانی 70/ - 104، دار احیاء التراث العربی، بیروت.
2. (اعیان الشیعه)، ج‏10/21.
3. (مقدمه ابن خلدون)، ترجمه محمد پروین گنابادی، ج‏2/1021، علمی و فرهنگی
منبع : دانشجویان
تانسور

طبقه بندی : ریاضیات - مقالات
در ریاضی، تانسور آرایه ای از اعداد است یعنی یک سری اعداد که به طور خاصی مرتب شدند یعنی در یک جدول (نامحسوس) چیده شدند. این جدول در حالت کلی می تواند به صورت… N x M x O x P x باشه که حروف بزرگ هر کدام می توانند نماینده یک عدد باشند و x نشان دهنده ی عمل ضرب بین آنهاست. مثلا یک تانسور در ساده ترین حالت می تواند یک عضو باشد که این تانسور همان عدد معمولی که در طول روز از آنها استفاده می کنیم است.
در حالت کمی پیشرفته تر تر تانسور می تواند به صورت بردار باشد. یعنی وقتی شما بردار A را به صورت(x,y,z) نشان می دهید در حقیقت یک تانسور ۱*۳ دارید. در حالتی باز هم پیشرفته تر تانسور می تواند دو بعدی باشد(به صورت ماتریسی) یعنی مثلا جدول ما ۲×۲ باشه یعنی دو سطر و دو ستون.
چنین تانسوری دارای ۴ عضو است. به طور کلی تانسورهای دو بعدی و بالاتر از دو بعد را با نام ماتریس هم می شناسند که مطمینا با ماتریس ها و برخی خصوصیات آنها آشنا هستید. ماتریس ها از آن جهت مورد استفاده قرار می گیرند که باعث ایجاد نظم بین داده های یک مسیله و دسته بندی اطلاعات می شوند.
منبع : مرکز ریاضیات
دایره
Circle
طبقه بندی : ریاضیات - مقالات

مقدمه
اشکال هندسی در زندگی همیشه دارای کاربردهای فراوان بوده و برای فعالیتهای انسان الهام بخش و سمبل نیز شده است. دایره یکی از این اشکال است. ابتدایی‌ترین کاربرد دایره ، چرخ و چرخ‌دنده‌ها هستند که از قدیم‌الایام بکار رفته و می‌روند. همچنین ابزار آلات زینتی چون تاج ، گردبند ، خلخال و حلقه‌ها ، کاربردی به اندازه تاریخ بشری دارند. نمونه مثال زدنی حلقه ازدواج است که بین زوجین مبادله می‌شود و این برگرفته از حلقه‌ای است که در دست اهورامزدا در پیکره‌ها و مجسمه‌ها دیده می‌شود.

با توجه به قرینه مذهبی قداست و پاکی ازدواج در ایران باستان را نشان می‌دهد که اکنون فرهنگی جهانی گشته است. دایره در فرهنگها ، انجمنها ، شهرسازی ، اندیشه‌های هنری و ریشه‌دار بخصوص در ابزار آلات نجومی جایگاه نمادین و کاربردی دارد. در فرهنگ و ادیان قدیم ازجمله بودا ، نماد آسمان ، جهان پاک ، افلاک گردنده و غیر دنیاست در حالی که در مقابل دنیا چهار گوشه و مربع است که به وضوح در بیان اشعار و ادبیات ایرانی بویژه غزلیات عرفانی مشاهده می‌شود.
دایره در هنرهای اسلامی ایران
در هنرهای اسلامی ایرانی دایره‌ها ، به شکل شمس و حلقه نورانی در اطراف سرایمه و بزرگان دین دیده می‌شود. همچنین با توجه به کراهت صورتگری و مجسمه سازی در اسلام و ظریف اندیشی شیعه ، هنرهای اسلامی به شکلهای اسلیمی ، گل و بوته ، نقشهایی ختایی سوق داده شد. اشکال و خطوط و ترکیب رنگ در مینیاتورها ، تذهیبها و فرشها با زینت و ترکیب و نقش نگار پخته‌تری تکامل یافتند.

دایره به شکل شمسه‌های زیبایی تزیین داده شد و شمسه‌ها به صورت منفرد یا در سایر هنرها کاربرد یافت. در خطوط گل و بوته و اشکال اسلیمی و ترکیب رنگ دایره به عنوان پایه‌ای‌ترین ، اصلی‌ترین و اساسی‌ترین شکل بکار گرفته می‌شود. و سیر کلی به سوی مرکز برای وصل فنا نقطه‌ای (سیاه) است. که اختیار را از چشمان بیننده گرفته و با سیر در تابلو به مرکز هدایت می‌کند.
دایره و نقطه سیاه و قرمز
در میان قبایل بدوی و بسیاری از انجمنها و دسته‌های سری قدیم ، سمبل مفاهیمی چون ابدیت ، جاودانگی و مرگ بوده است و دایره سیاره و دوایر متحدالمرکز در تمرینات اساسی ماینه‌تیستها ، هیپنوتیستها و درمانگران حرفه‌ای می‌باشد. دایره و نقطه سرخ که اغلب نشان آفتاب می‌باشد در پرچم و سمبل ملل شرق آسیا نیز مشاهده می‌شود.
هفت شهر
بطلیموس در دو قرن پیش از میلاد بر اساس تفاوت حرارت ، سرزمینهای شناخته شده آن روزگار را به هفت اقلیم تقسیم کرده است از آنجا که تقسیم بندی بطلیموس بر اساس دایره‌های مداری است اقلیمهای هفت گانه را اقلیمهای هندسی نیز نامیده‌اند. به نظر صاحبنظران ، اصطلاح هفت شهر ، هفت اقلیم و هفت وادی که در ادبیات و حکمت ایرانی وارد شده است الهامی از نظریات بطلیموسی را در خود دارد. اجرام آسمانی به دو دسته ثوابت و اجرام متحرک و متغیر تقسیم بندی شد و اجرام متغیر شناخته شده آن روز ، خورشید ، زمین ، بهرام ، تیر ، عطارد ، مشتری و زحل هر کدام در مداری و آسمانی تصور شدند. آسمان اول ، آسمان دوم … تا هفت آسمان.
دایره و نجوم
کره زمین برای شناسایی بهتر به دایره‌های افقی به نام مدار از صفر استوا تا ۹۰ درجه قطبین و دایره‌های عمودی به نام نصف‌النهار تقسیم بندی می‌شود. در علوم قدیم دایره بیشترین کاربرد و برترین جایگاه را در علم نجوم دارد. اولین مدلهای منظومه‌ای بر اساس گردش زهره در فرهنگ اینکاها ، گردش خورشید و کاینات دور کلیسا و زمین ، تا گردش زمین و سیارات دور خورشید در نجوم اسلامی و قوانین حاکم بر حرکت آنها بر روی مسیرهای دایروی بودند. مدلهای اتمی بعد از نظریه جوزف تامسون نیز هسته متمرکز در مرکز (بار مثبت) و الکترونهای متحرک در مدارهای دایروی بود. که به دلیل شباهت به مدل منظومه‌ای مشهور گشت.

بعدها تیکوبراهه ، کپلر ، کپرنیک روی این نظریه‌ها کار کردند. در سال ۱۶۱۹ کپلر سه قانون حرکت سیارات را با استفاده از مشاهدات تیکوبراهه بیان کرد. قوانین کپلر پایه و اساس قوانین نیوتن و مکانیک کلاسیک و مکانیک سماوی شد. در این نظریه مسیر دایره به مسیر بیضوی که خورشید در یک کانون بیضی قرار دارد تغییر یافت. با مطرح شدن فیزیک نوین و فیزیک کوانتومی ، اصل عدم قطعیت و سایر پیشرفتهای تکنولوژیکی مدل منظومه‌ای هسته نیز به مدل ابر الکترونی تبدیل گشت.
نگاهی به رصدخانه مراغه
این رصدخانه در زمره پیشگامان نجوم ایران و دنیای قدیم بوده و جایگاه بی‌نظیری برای خود دارد. مهمترین دوره و مکتب نجومی ایران مکتب مراغه بود که به گفته پروفسور عبدالسلام رصدخانه‌های هنر با وجود رگه‌های هنری اساسا بر پایه رصدخانه‌های اسلامی ساخته شده است. در این میان مکتب مراغه با نام خواجه نصیر‌الدین طوسی با سمت گیری انتقادی نسبت به نظام بطلیموسی به دلیل مشکلات جدی و ناسازگاریهای ذاتی موجود اخترشناسان بر اساس مدل هندسی نجومی ارایه شد که به جفت طوسی معروف گشت. ایجاد حرکت خطی به کمک حرکتهای دورانی یکنواخت است. ساختمان اصلی این رصدخانه به شکل استوانه طراحی شده بود. اکثر وسیله‌های رصدی در آن شکل دایروی داشتند از مهمترین وسیله‌های رصدخانه مراغه می‌توان به موارد زیر اشاره کرد.
وسایل رصد خانه مراغه
سدس فخری که بعدها با اصلاح به دوربینهای تیودولیت معروف گشتند که کاربردهای نقشه برداری دارد. وسیله دیگر ربع بود. این آلت از ربع دایره و عضاده‌ای تشکیل یافته و با آن میل کلی و ابعاد کواکب و عرض بلد را رصد می‌نمودند و بر سطح دیواره شمالی و جنوبی رصدخانه نصب شده بود. وسیله دیگر ذات‌الحلق بود که که به جای ششگانه بطلیموس و نه حلقه ثاون اسکندرانی جامع‌تر بوده است.

آلتی است متشکل از پنج حلقه به ترتیب الف برای دایره نصف النهار که بر زمین نصب شده بود. ب برای دایره معدل النهار ج برای دایره منطقه‌البروج د برای دایره عرض و ه برای دایره میل. از آلات دیگر رصدخانه مراغه ذات‌الجیب و ذات‌السمت بودند که برای تعیین ارتفاع در کلیه جهات مختلف افق بکار رفته می‌شد. ذات‌الربعین که به جای ذات‌الحلق استعمال می‌شد. ذات‌الارسطوانتین و دایره شمسیه از وسایل دیگر رصد خانه هستند.
نگاهی به استفاده از دایره برای رفع مشکلات شهرها و شهرسازی
توسعه شهرها ، تامین نیازمندیهای آنان ، چاره‌جویی برای توسعه‌های آینده شهر ، اتخاذ تصمیماتی که بتواند مشکلات شهری را به حداقل برساند و بالاخره آنکه چگونه رابطه منطقی بین انسان با محیط طبیعتش حفظ شود، به تحولاتی در امر شهرسازی منجر شد. نخستین نظریه در زمینه شهرسازی شخصی به نام هیپوداموس (۴۸۰ سال قبل از میلاد) بود و بعد از آن نظریات و راهکارهای متفاوت شهرسازی بوجود آمد. ولی پیدایش دانش امروزی شهرسازی به قرن نوزده میلادی می‌رسد. از میان نظریه‌های شهرسازی می‌توان نظریه‌های زیر را نام برد.
نظریه متحدالمرکز
در این نظریه الگوی ساخت شهر بر این اصل استوار است که توسعه شهر از ناحیه مرکزی به طرف خارج شهر صورت گرفته و تعداد مناطق متحدالمرکز را تشکیل می‌دهد. این مناطق با ناحیه مشاغل مرکزی شروع شده و بوسیله منطقه در حال تحول احاطه می‌شود.
نظریه قطاعی
تعدیل و تغییر در جهات مختلف این نظریه است. شهرها برای همیشه نمی‌توانند حالت متحدالمرکزی مناطق را حفظ کنند. در این نظریه اجازه خانه به عنوان راهنما مطالعه شهر را عملی می‌سازد. ساخت واحدهای گرانقیمت از کانون اصلی در طول شبکه‌های رفت و آمد ، ساخت واحدهای مسکونی دیگر و ارزان‌تر به سوی فضاهای باز و جابجایی ساختمانهای اداری و تجاری ، توسعه واحدهای مسکونی گرانقیمت را در جهت عمومی عملی سازد. آپارتمانهای لوکس در مجاورت بخشهای تجاری و مسکونی قدیمی بوجود آمده و واحدهای گرانقیمت شهر بطور اتفاقی و نامنظم جابجا نمی‌شوند. راههای شعاعی از مرکز شهر به اطراف کشیده می‌شود و عامل دسترسی به این راهها و قیمت زمینها را در مناطق مختلف شهر تعیین می‌کند.
مدل حلقه‌ای
در این مدل به جای آنکه خطوط اصلی حمل و نقل به صورت خطی گسترش یابد به شکل دایره‌ای و به موازات مرکز شهر ، حواشی ناحیه مرکزی و بافتهای اطراف آن را احاطه می‌کند. و دور تا دور بافت را گره‌های شهری بوجود می‌آورد. و فعالیتها شکل حلقه‌ای یا زنجیره‌ای به خود می‌گیرند.
طرح مکمل مدل کهکشان
بر اساس نظریه ویکتورگروین در بیشتر شهرهای بزرگ کاربرد دارد. شهر از مراکز متعددی تشکیل یافته و هر کدام واحدهای دیگری را بوجود می‌آورد و بوسیله شبکه‌های ارتباطی مشترک و مستقل و منطقه‌ای بافتها به همدیگر مرتبط می‌شوند. مجموعه این بافتها و شبکه‌ها یک شبکه کهکشانی را بوجود می‌آورد. خدمات مرکزی در وسط بافت و جایگاه صنایع در نواحی اطراف شهر و در خارج از بافت اصلی پیش‌بینی شده است.
دایره در مثلثات و فیزیک
از دایره‌های مشهور دیگر دایره مثلثاتی است. دایره مثلثاتی دایره‌ای است با درجه‌بندی و جهت حرکت مشخص که به آن جهت مثلثاتی گویند و آن پادساعت گرد یا عکس ساعت گرد است. شعاع این دایره واحد است و حداکثر مقدار توابع مثلثاتی سینوس یا کوسینوس که در این دایره بدست می‌آید می‌تواند واحد شود. هارمونیها و هماهنگها ، چرخش ، حرکت دورانی ، حرکات پریودیک و دوره‌ای ، حرکات تناوبی ، حرکات رفت و برگشتی در یک مسیر مشخص را می‌توان توسط این دایره و کمیات مثلثاتی برای بیان مکان و زمان و توصیف این حرکات و موقعیت بکار برد.
دایره در ورزشهای باستانی و موسیقی
دایره با توجه به نماد آسمانی و قداست افلاکی در ورزشهای باستانی از جمله زورخانه و گوی بازی ورزشکاران باستانی کار ، در رقص سماء و حلقه گردش و لباس و کلاه آنها ، نیز کاربرد دارد. در مکاتب هادی همچون کومونیسم نیز همچنان که در فیلم بایکوت مشاهده می‌کنیم. به عنوان سمبل بکار رفته است مسیری که از هیچ آغاز شده و در سیر مسیر به هیچ منتهی می‌شود.

اساس موسیقی و هنرهای ادبی شرقی موسیقی دوری است. موسیقی و هنری که انسان را در جای خود از حالی به حالی دگرگون می‌کند از نقطه‌ای شروع شده و او را به سیر در عالم معانی برده و در آخر انسانی ارزشی ، تحول یافته و والا‌مقام و انسانی که شایسته خلیفه الهی است بوجود می‌آورد.
منبع : academist.ir
مقدمه‌ای بر سیستم‌های Fuzzy

نويسنده : دکتـر سید حسام الدین مهدیان - لیلی نـداف
طبقه بندی : ریاضیات - مقالات
دستیابی به دانش بدون ابهام، سالهای متمادی انسان را دچار چالش ساخته است. از هنگامی که ارسطو منطق دو ارزشی را معرفی کرده، تاکنون بشر توانسته با کمک و استفاده از آن به موفقیت های چشمگیری دست یابد؛ فن آوری رشد نموده و روز به روز کارآمد تر شده است در اوایل قرن بیستم، دانشمندان به این نتیجه رسیدند که ساختارهای سنتی علوم، پاسخگوی پدیده های کشف شده نیست. مشکلاتی که برای قوانین نیوتن در اندازه های مولکولی بوجود آمده بود، باعث شد نظر تمام دانشمندان و پژوهشگران به سمت پدیده های تصادفی جلب شود و همین امر منجر به رشد علوم آمار و احتمالات گردید. پدیده های احتمالات عباراتی بودند که بشدت در تمام شاخه های علوم بخصوص آنجا که سیستم ها پیچیده می شدند و یا تعداد مشاهدات افزایش می یافت، دیده می شد. اما آنچه احتمالات بدنبال آن بود، با ماهیت ابهامی که در سیستم ها وجود داشت، تفاوت های زیادی می کرد. با آنکه پدیده های تصادفی نمود یافته بودند، هنوز هم دانشمندان معتقد بودند که تنها راه افزایش کارآیی سیستم ها، افزایش دقت است.
منطق fuzzy گونه ای بسیار مهم از منطق است که توسط استاد ایرانی پروفسور دکتر لطفی زاده در سال 1965 مطرح شد و بطور جدی در مقابل منطق دودویی ارسطویی قرار گرفت و این منطق نه تنها در حوزه تئوری بلکه در صنعت نیز بکار رفته است و پژوهشگران زیادی را مشغول به تحقیق در این زمینه کرده است.
منطق fuzzy در ابتدا بعنوان روشی برای پردازش اطلاعات معرفی گردید که عضوهای یک مجموعه علاوه بر دو حالت قطعی عضو بودن و نبودن حالت بین این دو را نیز تعریف می کند. fuzzy به جای پرداختن به صفر و یک، از صفر تا یک را مورد بررسی و تحلیل قرار می دهد؛ به بیان دیگر مجموعه ای که در منطق ارسطویی دارای دو عضو صفر ویک است در منطقfuzzy به مجموعه ای با بی نهایت عضو که دارای مقادیری از صفر تا یک هستند تبدیل می شود و بدین صورت منطق fuzzy به اعمال و طرز فکر آدمیان بیشتر نزدیک می شود.
تا دهه 70 برخورد با این تئوری مجموعه ها برای کنترل سیستم ها بکار نرفت تا اینکه بعلت ناکافی بودن قابلیت های کامپیوترهای کوچکی که تا پیش از آن زمان بودند مورد توجه قرار گرفت و دکتر لطفی زاده استدلال کرد مردم نیازی به اطلاعات ورودی شمارشی بسیار دقیق ندارند و آنها هنوز قادر به کنترل تطبیقی هستند. اگر کنترل گرهای feed back (بازخورد) طوری برنامه ریزی شوند که ورودی های غیر دقیق را بپذیرند در این صورت آنها بسیار موثر تر و مفید تر خواهند بود چه بساکه ممکن است اجرای آنها بسیار آسانتر شود. اروپائیان و ژاپنی ها خیلی سریعتر از دیگر کشورها این تکنولوژی را پذیرفتند و محصولات واقعی همچون: دوربین های عکاسی، اجاقهای ماکروویو و ... در این زمینه ساختند و به جامعه بشری عرضه نمودند.
منطق fuzzy معتقد است که ابهام در ماهیت علم است. برخلاف دیگران که معتقدند که باید تقریب ها را دقیق تر کرد تا بهره وری و اثربخشی افزایش یابد، لطفی زاده معتقد است که باید به دنبال ساختن مدل هایی بود که ابهام را بعنوان بخشی از سیستم مدل نماید و سیستم هایی که اساس کار آن با دانش است جایگزین سیستم هایی که با داده ها تنظیم شده اند گردند و سیستم هایی با مرزهای قطعی و دست و پاگیر، برداشته شده و جای آنها را مرزهای خاکستری فرابگیرد.
منطق fuzzy ، حلال مسائل است و قابلیت این را دارد که هم در سیستم های میکروکنترلرهای کوچک و ساده پیاده شود و هم در کامپیوترهای چند کاناله، شبکه عظیم و یا در سیستم های کنترلی اجرا گردد. منطق fuzzy نیز در نرم افزار، سخت افزار و یا ترکیبی از آن دو می تواند کاربرد داشته باشد. منطق fuzzy روشی آسان برای رسیدن به نتایج معین بر پایه اطلاعات ورودی مبهم و غیر دقیق می باشد. روش این منطق برای کنترل سیستم ها چگونگی تصمیم گیری یک انسان را تقلید می کند اما بسیار سریعتر و دقیق تر. مدل منطقfuzzy بر پایه و اساس تجربه بوده و بر تجربه کاربر تا فهمیدن تکنیکی سیستم تکیه دارد. بعنوان مثال فرض می شود فردی در اتاق خود مشغول مطالعه است و از آنجا که هوا گرم بوده، پنجره را کاملاً گشوده است. اگر بعد از نیم ساعت آن شخص اندکی احساس سرما نماید، چه خواهد کرد؟ در حالت طبیعی، "بلافاصله پنجره را کاملاً" خواهد بست یا "اندک اندک و به مرور زمان"آنرا خواهد بست و بعد از رسیدن به دمای مطلوب آنرا (درحالت نیمه باز و یا کاملاً بسته) رها خواهد کرد؛ فرض دوم محتمل تر است اما منطق دو ارزشی فقط یک پنجره را کاملاً باز می بیند یا کاملاً بسته.
منطق fuzzy دارای خصوصیات منحصر به فردی برای کنترل بسیاری از سیستم ها می باشد؛ از جمله:
1-کار خود را بطور دائم ادامه می دهد؛ چرا که نیاز به ورودی های دقیق ندارد و می تواند طوری برنامه ریزی شود که اگر سنسور (حس گر) feed back قطع یا خراب شود بدون خطر و اشکال کارش را ادامه می دهد.
2-چون روشهای کنترلر منطق fuzzy توسط کاربران تهیه می شود می تواند به راحتی اصلاح شود و تغییر کند تا عملیات سیستم را بهبود بخشد یا تغییر دهد.
3-هر اطلاعاتی از سنسور که نشانه ای از عمل و عکس العمل های سیستم باشد برای منطق fuzzy کافی است و نیازی به تعداد کمی ورودی و یا چند خروجی کنترلی ندارد که بخواهد محاسبات را انجام دهد تا بتواند اجرا شود. این مسئله باعث می شود تا سنسورها ارزانتر باشند؛ پس هزینه و پیچیدگی سیستم کاهش می یابد.
4-منطق fuzzy قادر است هر تعداد معقول ورودی پردازش نماید و خروجی های بی شماری را ایجاد نماید ولی چون تعیین سریع قواعد اصلی مشکل است، قواعدی که روابط متقابل بین ورودی ها و خروجی ها را تعیین می کند هم باید مشخص شود پس بهتر است که سیستم کنترلی را به قطعات کوچک تقسیم کرد و از چندین کنترلر منطق fuzzy کوچکتر که هر کدام دارای مسئولیت محدودتری هستند، برای سیستم استفاده شود، چراکه یکی از قابلیت های منطق fuzzy همین است: "افزایش دقت با استفاده از کنترلرهای متعدد".
5-منطق fuzzy می تواند سیستم های غیر خطی را کنترل کند که مدل کردن آنها با قواعد ریاضی بسیار سخت و یا غیر ممکن است.

استفاده از متغیرهای زبان شناختی به جای اعداد:
پروفسور لطفی زاده در سال 1973 مفهوم متغیرهای fuzzy یا زبان شناختی را پیشنهاد کرد تصور کردن آنها بعنوان لغات یا موضوعات زبان شناختی بهتر از تصور کردن آنها بصورت اعداد است. ورودی های سنسور همچون : دما، جریان، فشار، سرعت و غیره هستند. در عین حال متغیرهای fuzzy خودشان صفاتی می باشند که متغیر را توصیف می کنند. بعنوان مثال: خطای (مثبت بزرگ)، خطای (مثبت کوچک)، خطای (صفر)، خطای (منفی کوچک)، خطای (منفی بزرگ). برای مینیمم کردن می توان متغیر های مثبت، صفر و منفی را برای هر یک از پارامترها در نظر گرفت. دامنه تغییرات اضافی از قبیل (خیلی بزرگ) و (خیلی کوچک) هم می توانند به محدوده پاسخگویی در شرایط استثنایی و یا بسیار غیر خطی اضافه شوند اما در سیستم اصلی نیازی به آن نیست.

کاربرد و نتیجه گیـری:
منطق fuzzy تاکنون در شاخه های مختلف علوم بکار رفته است، اما شاید مهم ترین کاربردهای آنرا در سیستم های کنترلی بیابیم. از آنجایی که کنترل منطق fuzzy در ژاپن رشد فراوانی داشته است، شاید بتوان ژاپن را منشا کاربرد fuzzy در صنعت دانست. دکتر میشیوسوگنو تحقیقات فراوانی برای کنترل کننده های fuzzy انجام داده است. او برای اولین بار کنترل کننده ی fuzzy را با حدود 100قانون برای کنترل یک بالگرد درشرایط خطر ارائه داد. این مسئله قابل حل با روشهای کنترلی سابق نبوده و انسان هم برای کنترل بالگردها در این شرایط با مشکل مواجه بوده است. بنابراین، این مسئله یکی از مهم ترین دست آوردهای منطق fuzzy می باشد.
منطق fuzzy به عنوان روشی سودمند برای گروه بندی و کاربرد اطلاعات شناخته شده است و همین گونه ثابت گردیده که منطق fuzzy تا زمانی که از منطق کنترلی موجود بشری تقلید کند، گزینه ای عالی برای کاربرد در بسیاری از سیستم های کنترلی خواهد بود. منطق fuzzy می تواند در کامپیوترهای دستی کوچک تا سیستم های عظیم بکار رود. منطق fuzzy از یک برنامه غیر دقیق بسیار توصیفی استفاده می کند تا با اطلاعات ورودی بیشتر، شبیه یک کاربر انسان رفتار کند و و همچنان پس از خطای کاربرد به کار خود در پردازش اطلاعات ورودی و خروجی بپردازد و معمولاً در آغاز با اندک تنظیمی و یا حتی بدون نیاز به این امر شروع به کار می کند. منطق fuzzy نیازی به ورودی های دقیق ندارد و بطور ماندگار به کارش ادامه می دهد و می تواند هر تعداد معقولی از ورودی ها را پردازش کند اما پیچیدگی سیستم با ورودی ها و خروجی های بیشتر بسرعت افزایش می یابد و پردازشگرهای توزیع شده باعث آسان شدن عملیات می گردند.
امروزه در هر کجا نمی توان اثر منطق fuzzy را نادیده گرفت، از کنترل موشک و فضا پیماها گرفته تا کنترل ترافیک یک شهر بزرگ، حتی اثاثیه ها هم fuzzy شده اند؛ جارو برقی fuzzy، اجاق fuzzy، ماشین لباس شویی fuzzy و ... .
در آخر بیشترین مزیت منطق fuzzy که باعث بکار رفتن آن در رشد صنعت شده انعطاف آن در تحلیل داده ها و تصمیم گیریها است. در واقع منطق fuzzy روش دقیق فکر کردن در امور مبهم، غیر دقیق، تیره و تار و خاکستری است.
شایان ذکـر است که در ایــران نیز محققان زیادی چون دکتر ممدانی به پژوهش در این زمینه پرداخته اند که مجال بیشتری برای یافته های جدید قابل ارائه نیاز است.
منبع : مرکز ریاضیات iran

در سال ۱۹۰۰ میلادی دیوید هیلبرت (۱۸۶۲- ۱۹۴۳م) در دومین کنگره بین المللی ریاضی دانان در پاریس در یک سخنرانی از مسایل ریاضیات سخن گفت و پس از آن هرمن ویل (Herman Weyl) درباره آن مسایل چنین گفت: «هرکس این مسایل را حل کند به کلاس افتخاری ریاضیدانان وارد می شود.» در همین سال هیلبرت به یک ریاضیدان برجسته در آلمان تبدیل شد. او به خاطر حل مسایل اساسی در نظریه ی پایایی و گزارش مهم در نظریه اعداد که در سال ۱۸۹۶ به چاپ رسید مشهور شد. در سال ۱۸۹۹ به درخواست کلاین (Klein) او کتاب مبانی هندسه را برای تجلیل از مقام گایوس (Gauss) و وبر (Weber) در گوتینگن به چاپ رساند. هرویتز (Hurwitz) در نامه ای به هیلبرت درباره ی این کتاب نوشت: «شما با نوشتن این کتاب کوچک زمینه ی شگرفی از تحقیقات را باز کردی که می توان آن را ریاضیات اصل موضوعه نامید که بسیار فراتر از قلمرو هندسه است. او طی این سخنرانی ۲۳ مسیله در رابطه با ریاضیات را عنوان نمود که عناوین آن به شرح زیر هستند:
۱- مسیله کانتور برای عدد کاردینال پیوستار
۲- سازگاری اصول موضوعه ی حساب
۳- تساوی حجم دو چند وجهی با مساحت قاعده و ارتفاع برابر
۴- مسیله خط مستقیم با کوتاهترین فاصله بین دو نقطه
۵- مفهوم لی (Lie) از گروه های پیوسته از تبدیلات بدون فرض مشتق پذیری توابع تعریف کننده ی گروه ها
۶- ارایه ساختار اصل موضوعی ریاضیات برای فیزیک
۷- گنگ و متعالی بودن اعدادی معین
۸- مسیله اعداد اول، توزیع اعداد اول و فرضیه ی ریمان
۹- اثبات کلی ترین اصل تقابل در هر میدان
۱۰- آیا یک الگوریتم برای تعیین حل پذیری معادلات دیوفانتی وجود دارد.
۱۱- ارایه ی یک نظریه برای فرم های درجه دوم با ضرایب عددی جبری
۱۲- تعمیم قضیه ی کرونکر برای میدان های آبلی به هر ساختار جبری گویا
۱۳- ناممکن بودن حل معادلات کلی درجه ۷ توسط توابعی تنها از دو متغیر
۱۴- اثبات متناهی بودن دستگاههای کامل و مشخص از توابع
۱۵- ارایه ی مبانی دقیق از حساب شمارش شوبرت (Schubert)
۱۶- مسیله توپولوژی منحنی ها و رویه های جبری و تعیین کرانی برای تعداد سیکل های حدی دستگاههای چند جمله ای در صفحه
۱۷- نمایش فرم های مشخص توسط مربع جملات
۱۸- ساختن فضاهای اقلیدسی با تعداد متناهی گروههای چند وجهی
۱۹- آیا جواب های مسایل منظم در حساب تغییرات لزوماْ تحلیلی اند؟
۲۰- ارایه ی یک نظریه ی کلی برای مسایل شرط مرزی
۲۱- اثبات وجود معادلات دیفرانسیل خطی با گروه مونودرامی از پیش تعیین شده
۲۲- یکنواخت سازی روابط تحلیلی توسط توابع اتومورفیک
۲۳- توسعه ی بیشتر روش های حساب تغییرات.
که از این میان تنها مسیله ۱۶ ام هیلبرت تاکنون لاینحل باقی مانده است.

انسان اولیه چگونه می شمرد

طبقه بندی : ریاضیات-مقالات
در آغازانسان اولیه برای نشان دادن عدد مورد نظر خود از زبان اشاره استفاده می کرد. شاید به ببری که کشته بود یا به سرنیزه همسایه اش اشره کند یا شاید انگشتانش برای نشان دادن عدد استفاده می کرد سه انگشت دست معنی سه می داد خواه سه نیزه یا سه ببر یا سه غار باشد. در ابتدا انسان اولیه می توانست تا دو بشمرد امروزه هنوز در جهان قبایلی ابتدایی مانند بومیان بدوی استرالیا”ابوجین”ها وجود دارد فقط سه عدد می شناسند یک،دو و بسیار هنگامی با انگشتان دست شماره میکنید تفاوتی نمی کند که از انگشت کوچک دست یا از انگشت شصت شروع کنیم اما بین برخی از اقوام برای این کار قاعده هایی وجود دارد مثلا زونیا(قبیله ای از سرخپوستان آمریکای شمالی)شمردن را از انگشت کوچک دست چپ شروع می کردند.
منبع : مرکز ریاضیات